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My PhD thesis

Title: Special sets of real numbers and variants of the Borel Conjecture

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Preface

In my thesis, I investigate questions about subsets of the real line. While these questions are motivated by concepts from analysis, measure theory, and topology, their resolution often needs set-theoretic methods – such as the method of forcing –, as these questions (the prototypical such question is Hilbert's first problem about the continuum hypothesis) may be not resolvable by ZFC (the usual axioms of set theory).

In particular, I investigate small (special) sets, i.e., elements of certain natural σ-ideals on the real numbers (or collections only closed under taking subsets), such as the measure zero sets and the much smaller strong measure zero sets.

ZFC typically does not allow conclusions of the form "all sets of small/large cardinality are inside/outside of a certain collection". For instance, the Borel Conjecture – the statement that all strong measure zero sets are at most countable – can neither be proved nor refuted from the ZFC axioms.

Annotated contents

Chapter 1	Introduction
	I give some historical background and review several concepts and results that are relevant to my thesis, such as the notion of strong measure zero, the Galvin-Mycielski-Solovay characterization of strong measure zero sets via translations of meager sets, the notion of strongly meager, Borel Conjecture, dual Borel Conjecture, etc.; furthermore, I give a very informal overview of my joint paper "Borel Conjecture and dual Borel Conjecture" (i.e., Chapter 2).
Chapter 2	Borel Conjecture and dual Borel Conjecture
	This chapter contains my joint paper with Martin Goldstern, Jakob Kellner, and Saharon Shelah: We show that it is consistent that the Borel Conjecture and the dual Borel Conjecture hold simultaneously.
Chapter 3	A strengthening of the dual Borel Conjecture
	We show that a strengthening of the dual Borel Conjecture holds in our model of BC+dBC: there are no uncountable very meager sets there (the very meager sets always form a σ-ideal containing all strongly meager sets). This is joint work with Saharon Shelah.
Chapter 4	A projective well-order of the reals and BC/dBC
	Using methods from the paper "Cardinal characteristics and projective wellorders" by Vera Fischer and Sy D. Friedman, we show how to modify Laver's proof of Con(BC) to get a model of "BC + there exists a projective well-order of the reals". Similarly, we show the analogous result for dBC, using methods from the paper "Projective wellorders and mad families with large continuum" by Vera Fischer, Sy D. Friedman, and Lyubomyr Zdomskyy. This is joint work with Sy D. Friedman.
Chapter 5	Galvin-Mycielski-Solovay theorem revisited
	I give versions of the Galvin-Mycielski-Solovay theorem for more general settings: I provide a version for the generalized Cantor space 2κ for weakly compact κ, as well as a version for separable locally compact groups. On the other hand, I show that the Galvin-Mycielski-Solovay characterization consistently fails for the Baer-Specker group ℤω.
Chapter 6	Sacks dense ideals and Marczewski Borel Conjecture
	Let MBC (Marczewski Borel Conjecture) be the assertion that there are no uncountable s0-shiftable sets (those sets that can be translated away from each set in the Marczewski ideal s0). So MBC is the analogue to BC (dBC) with meager (measure zero) replaced by s0. To investigate whether MBC is consistent, I introduce the notion of "Sacks dense ideals" to explore the family of s0-shiftable sets. Even though Con(MBC) remains unsettled, I present several results about Sacks dense ideals.
Chapter 7	ℙ dense ideals for tree forcing notions
	In Chapter 6, problems regarding the Marczewski ideal s0 are considered, which is connected to Sacks forcing 𝕊. In this chapter, I briefly discuss whether Sacks forcing can be replaced by other tree forcing notions (such as Silver forcing, Laver forcing, etc.) in the arguments of Chapter 6.

Kurzfassung

In meiner Dissertation beschäftige ich mich mit einem Teilgebiet der Mengenlehre: ich untersuche Fragen über "spezielle" Teilmengen der reellen Zahlen, die durch Konzepte aus der Analysis, Maßtheorie und Topologie motiviert sind. Ihre Lösung erfordert oft mengentheoretische Methoden wie zum Beispiel die sogenannte "Erzwingungsmethode" (engl.: "forcing"), da die meisten dieser Fragen nicht durch die gewöhnlichen Axiome der Mengenlehre (ZFC) "entscheidbar" sind.

Insbesondere untersuche ich "kleine" (oder: "spezielle") Mengen, typischerweise Elemente gewisser Sigma-Ideale auf den reellen Zahlen, wie beispielsweise die aus der Maßtheorie stammenden Lebesgueschen Nullmengen, oder die noch viel kleineren "starken Nullmengen" (engl.: "strong measure zero sets").

ZFC erlaubt keine Folgerungen der Art "alle Mengen von kleiner/großer Kardinalität liegen innerhalb/außerhalb eines gegebenen Ideals". Zum Beispiel kann die sogenannte "Borel-Vermutung" (engl.: "Borel Conjecture"; benannt nach Émile Borel; es ist die Aussage, daß alle starken Nullmengen höchstens abzählbar sind) aus den ZFC-Axiomen weder bewiesen noch widerlegt werden.

Galvin, Mycielski und Solovay bewiesen einen auf diesem Gebiet zentralen Satz, indem sie eine Verbindung (mittels Translationen) zwischen starken Nullmengen und sogenannten (aus der Topologie stammenden) mageren Mengen zeigten. Dieser Satz ermöglicht es, den zum Begriff der starken Nullmenge "dualen" Begriff der "stark mageren Menge" (engl.: "strongly meager set") – und damit auch die "duale Borel-Vermutung" (engl.: "dual Borel Conjecture") – einzuführen.

In Kapitel 1 wird eine kurze Übersicht über alle für die Dissertation relevanten Konzepte gegeben.

Kapitel 2 ist eine gemeinsame Arbeit mit meinem Dissertationsbetreuer Martin Goldstern, Jakob Kellner und Saharon Shelah: wir zeigen, daß es ein Modell von ZFC gibt, in dem sowohl die Borel-Vermutung als auch die duale Borel-Vermutung gilt (mit anderen Worten: in dem es weder überabzählbare starke Nullmengen noch überabzählbare stark magere Mengen gibt).

In Kapitel 3 wird eine Verstärkung dieses Resultats gezeigt, in dem der Begriff der stark mageren Mengen durch den (schwächeren) Begriff der "sehr mageren Mengen" (engl.: "very meager sets") ersetzt wird.

In Kapitel 4 wird gezeigt, daß sowohl die Borel-Vermutung als auch die duale Borel-Vermutung mit einer definierbaren Wohlordnung der reellen Zahlen verträglich ist.

In Kapitel 5 wende ich mich wieder dem oben erwähnten Satz von Galvin-Mycielski-Solovay zu und zeige, daß man ihn auf verschiedene allgemeinere Strukturen ausdehnen kann.

In Kapitel 6 definiere ich eine neue Klasse von "kleinen Mengen" (und die zugehörige Variante der Borel-Vermutung) und entwickle Methoden zur Untersuchung derselben (unter Annahme der Kontinuumshypothese).

In Kapitel 7 beschreibe ich kurz, auf welche Weise die Konzepte aus Kapitel 6 weiter verallgemeinert werden können.